«Айналу денелері және олардың элементтері» бөлімін қайталауға арналған жаттығулар

Ереже: Тік цилиндрдің осьтік қимасы өлшемдері 2r және h болатын тіктөртбұрыш. Қима шаршы болса, h=2r; толық бет S=2πrh+2πr², оған екі дөңгелек табан да кіреді.

Қолдану: Осьтік қиманың ені 2r=10, демек r=5 см, ал h=10 см. Sтол=2πr(r+h)=2π·5·15=150π см². Бүйір бет 100π, екі табан 50π; екі тәуелсіз есеп бір нәтиже береді.

Қате нұсқаларды ажырату: A) 100·π см²: Бұл тек бүйір бет; екі табанның 50π ауданы жоқ.

C) 400·π см²: Осьтік қиманың ені диаметр, радиус емес; 10 см радиус деп алынған.

D) 125·π см²: Бір табан ғана қосылған; толық бетте екеуі болады.

E) 50·π см²: Бұл тек екі табанның ауданы; бүйір бет есептелмеген.

Қайта орындауға ишара: Шаршының бір қабырғасы биіктік, екіншісі диаметр екенін ескеріңіз.

Ереже: Тік конустың осьтік қимасының жартысында радиус r және биіктік h — катеттер, жасаушы l — гипотенуза. Сондықтан h²=l²−r²; биіктік жасаушыдан қысқа болуы керек.

Қолдану: Конус осьтік қимасының жартысында l²=h²+r². Сондықтан h=√(17²−8²)=√225=15 см. Биіктік жасаушыдан кіші болуы тиіс; бұл нәтиже 15<17 тексерісін орындайды.

Қате нұсқаларды ажырату: A) 9 см: Жасаушы мен радиустың айырмасы Пифагор формуласын алмастырмайды.

B) 25 см: Екі ұзындықты қосу перпендикуляр биіктікті бермейді.

D) 225 см: Бұл биіктіктің квадраты; түбір алынуы керек.

E) 17 см: Жасаушы — гипотенуза, биіктік — катет.

Қайта орындауға ишара: Жасаушыны гипотенуза деп алып, Пифагор теоремасын қолданыңыз.

Ереже: Тік конустың жасаушысы l=√(r²+h²). Толық бет S=πrl+πr²; бүйір ауданға дене биіктігін емес, жасаушы ұзындығын қояды және бір табан қосады.

Қолдану: Жасаушы l=√(8²+15²)=17 см. Бүйір аудан πrl=136π, табан ауданы πr²=64π. Олардың қосындысы 200π см²; конуста бір ғана дөңгелек табан бар.

Қате нұсқаларды ажырату: A) 136·π см²: Бұл бүйір бет қана; табан ауданы 64π қосылмаған.

B) 184·π см²: Жасаушы орнына 15 см биіктік қолданылған.

C) 264·π см²: Пирамида сияқты бір табаны бар конусқа екі табан қосылған.

E) 64·π см²: Бұл табан ауданы ғана; бүйір бет жоқ.

Қайта орындауға ишара: Жасаушыны есептеп, бүйір бетке бір табанды қосыңыз.

Ереже: Тік қиық конуста l²=h²+(R−r)². Оның толық беті S=π(R+r)l+πR²+πr²; бүйір бет пен әртүрлі екі табан бөлек есептеледі.

Қолдану: Жасаушы l=√(8²+(9−3)²)=10 см. Бүйір аудан π(9+3)·10=120π, табандар π(81+9)=90π. Толық бет 210π см²; жасаушы үшін радиустардың қосындысы емес, айырымы қолданылады.

Қате нұсқаларды ажырату: A) 120·π см²: Бұл тек бүйір бет; табандар жоқ.

B) 186·π см²: Жасаушы орнына биіктік қолданылған.

C) 174·π см²: Бүйір бетке үлкен табанның емес басқа аудан қосылған; екі табан 90π болуы керек.

D) 300·π см²: Табандар аудандары екі рет қосылған.

Қайта орындауға ишара: Жасаушыны радиустар айырымы және биіктік арқылы табыңыз.

Ереже: Радиусы R шардың центрінен d қашықтықтағы қима радиусы ρ үшін ρ²=R²−d². Қима дөңгелегінің ауданы πρ²; оны сфера бетінің ауданымен шатастыруға болмайды.

Қолдану: Қима радиусының квадраты r²=R²−d²=100−64=36. Сондықтан Sқима=πr²=36π см². Қима центрі шар центрінің жазықтыққа проекциясы; r=6 см шар радиусынан кіші болады.

Қате нұсқаларды ажырату: B) 100·π см²: Бұл үлкен дөңгелек ауданы; қима центр арқылы өтпейді.

C) 64·π см²: Центрден жазықтыққа қашықтық қима радиусы ретінде алынған.

D) 400·π см²: Бұл бүкіл сфера ауданы, жазық қима емес.

E) 6·π см²: Радиусты квадраттамай π-ге көбейту аудан бермейді.

Қайта орындауға ишара: Қима радиусын перпендикуляр қашықтықпен құрылған үшбұрыштан табыңыз.