Қиық конус және оның элементтері

Ереже: Қиық конус конустың табаны мен оған параллель қима жазықтығының арасында орналасады. Оның табандары — радиустары әртүрлі екі дөңгелек.

Қолдану: Берілген бөлік бастапқы конус төбесін қамтымайды. Оның төменгі табаны бастапқы дөңгелек, жоғарғы табаны параллель қимадан пайда болған кіші дөңгелек болады. Параллель қию жазықтығы жоғарғы төбелі кіші конусты ажыратады. Қалған төменгі бөлік екі дөңгелек пен оларды қосатын көлбеу бүйір бетпен шектеледі; оның радиустары бастапқы конусқа байланысты әртүрлі болады.

Қате нұсқаларды ажырату: A) Цилиндр: Цилиндрдің табандары тең және жасаушылары оське параллель; конусты ішкі параллель қию радиустарды өзгертеді.

C) Шар сегменті: Шар сегменті шарды жазықтықпен кескенде шығады; берілген бастапқы дене конус.

D) Кіші конус: Кіші конус жоғарғы төбелі бөліктен шығады; сұралған бөлік табан мен қиманың арасында.

E) Тік призма: Тік призманың табандары көпбұрыштар; мұнда екі табан да дөңгелек.

Қайта орындауға ишара: Қай бөлік бастапқы төбені қамтиды, қайсысы екі дөңгелекпен шектеледі?

Ереже: Қиық конустың осі арқылы өтетін қима екі табаннан диаметрлер кесіп алады. Екі жасаушы осы параллель кесінділерді қосып, теңбүйірлі трапеция құрайды.

Қолдану: Трапеция табандарының ұзындықтары 2R және 2r, бүйір қабырғалары жасаушыларға тең. Қиық конус биіктігі осы трапецияның биіктігі болады. Осьтік жазықтық екі табанның центрлерін қамтиды, сондықтан олардан радиус емес, толық диаметрлер кесіледі. Диаметрлер параллель әрі ұзындықтары әртүрлі; оларды бірдей жасаушылар қосып, теңбүйірлі трапеция береді.

Қате нұсқаларды ажырату: A) Тіктөртбұрыш әрқашан: Тіктөртбұрышта параллель қабырғалар тең; қиық конустың диаметрлері әртүрлі.

B) Ромб әрқашан: Ромбта барлық қабырғалар тең; екі табан диаметрлері әртүрлі болғандықтан бұл орындалмайды.

D) Дөңгелек: Дөңгелек қима табандарға параллель жазықтықта алынады, осьтік жазықтықта емес.

E) Теңқабырғалы үшбұрыш: Үшбұрыш толық конустың осьтік қимасы; қиық конуста төбе қиылып, екінші параллель табан бар.

Қайта орындауға ишара: Осьтік жазықтық екі дөңгелек табаннан қандай кесінділер кесіп алады?

Ереже: Тікбұрышты трапецияны оның табандарына перпендикуляр бүйір қабырғасынан айналдырғанда сол қабырға айналу осі және дене биіктігі болады.

Қолдану: Айналу осінің ұзындығы 5 см, сондықтан қиық конус биіктігі 5 см. Трапецияның 3 және 7 см табандары екі дөңгелектің радиустарын береді. Ось ретінде алынған қабырға екі табанға перпендикуляр болып, оларды 5 см аралықта ұстайды. Көлбеу қабырғаның ұзындығы √(5²+4²)=√41 см жасаушыны берер еді; ол биіктікке тең емес.

Қате нұсқаларды ажырату: A) √41 см: √41 см — трапецияның көлбеу қабырғасы және қиық конус жасаушысы; биіктік емес.

B) 4 см: 7−3=4 см — радиустар айырмасы; ол горизонталь бағыттағы өлшем.

C) 7 см: 7 см үлкен табан радиусын береді; осьтің ұзындығы 5 см.

E) 3 см: 3 см кіші табан радиусын береді; екі табан арақашықтығы 5 см.

Қайта орындауға ишара: Айналу кезінде қозғалмай қалатын қабырғаны анықта.

Ереже: Қиық конустың осьтік трапециясында жасаушы, биіктік және радиустар айырмасы тікбұрышты үшбұрыш құрайды: l²=h²+(R−r)².

Қолдану: Радиустар айырмасы 3 см. Сондықтан l=√(4²+3²)=5 см. Жасаушы биіктіктен үлкен, бұл қима геометриясына сай келеді. Жасаушы осьтік трапецияның бір көлбеу қабырғасы болады. Оның горизонталь проекциясы үлкен және кіші радиустың айырмасы, қосындысы емес; сол 3 см катет пен 4 см биіктіктің квадраттары қосылады.

Қате нұсқаларды ажырату: A) 4 см: 4 см — дене биіктігі; жасаушы көлбеу болғандықтан одан ұзын.

B) √185 см: √185=√(4²+13²); радиустар айырмасының орнына 8+5 қосындысы қолданылған.

C) 7 см: 4+3=7; катеттер қосындысы жасаушыны бермейді, квадраттар қосындысынан түбір қажет.

D) 13 см: 13 см — радиустар қосындысы; көлбеу жасаушы биіктікті де ескеруі керек.

Қайта орындауға ишара: Осьтік трапецияның бір шетіндегі тікбұрышты үшбұрышты қарастыр.

Ереже: Қиық конуста жасаушы гипотенуза, радиустар айырмасы мен биіктік катеттер болады. Сондықтан h=√(l²−(R−r)²).

Қолдану: Радиустар айырмасы 9−4=5 см. Биіктік h=√(13²−5²)=√144=12 см. Ұзындықтар 5, 12, 13 тікбұрышты үшбұрыш құрайды. Екі радиустың айырмасы осьтік қимадағы көлденең ығысуды береді. Биіктік сол ығысуға перпендикуляр, ал 13 см жасаушы гипотенуза; сондықтан катет үшін квадраттар айырмасынан түбір алынады.

Қате нұсқаларды ажырату: B) 18 см: 13+5=18; биіктік гипотенуза болған жасаушыдан ұзын бола алмайды.

C) √194 см: √194=√(13²+5²); белгісіз биіктік катет болғандықтан квадраттар қосылмайды.

D) 5 см: 5 см радиустар айырмасы ғана; ол биіктікке тең деп берілмеген.

E) 8 см: 13−5=8; Пифагор теоремасында ұзындықтар емес, квадраттар азайтылады.

Қайта орындауға ишара: Алдымен радиустар айырмасын есепте.