Сфера және шар. Шардың жазықтықпен қимасы

Ереже: Сфера центрден бірдей қашықтықтағы кеңістік нүктелерінен тұрады. Шарға осы шекарамен бірге ішкі нүктелер де кіреді, сондықтан екі ұғымның анықтамасы әртүрлі.

Қолдану: Шартта қашықтық дәл 6 см делінген. Демек тек шекарадағы нүктелер алынады, ал O центрі мен қашықтығы 6 см-ден аз нүктелер алынбайды. Бұл жиында барлық бағыттағы радиустың ұштары алынады. Белгілі бір жазықтықпен шектеу жоқ болғандықтан шеңбер не дөңгелек емес, кеңістіктегі сфера шығады; оның іші жиынға кірмейді.

Қате нұсқаларды ажырату: A) Дөңгелек: Дөңгелек бір жазықтықта жатады әрі центрді де қамтиды; шарт барлық кеңістік бағыттарын және дәл қашықтықты береді.

B) Шар: Шар центрден 6 см-ден артық емес қашықтықтағы ішкі нүктелерді де қамтар еді.

C) Конус: Конус нүктелерінің бір центрге дейінгі қашықтықтары бірдей емес.

E) Цилиндр: Цилиндр бүйірінің нүктелері осьтен бірдей қашықтықта, бірақ берілген бір нүктеден түгелдей бірдей қашықтықта емес.

Қайта орындауға ишара: «Дәл тең» және «артық емес» сөз тіркестерінің айырмасын анықта.

Ереже: Шар анықтамасында центрге дейінгі қашықтық радиустан артық болмайды. Бұл шарт шекарадағы нүктелерді де, ішіндегі нүктелерді де қамтиды.

Қолдану: O нүктесінің өзінен қашықтығы нөлге тең, сондықтан ол жиынға кіреді. Қашықтығы 4 см болатын нүктелер де кіреді. Екеуін бірге қамтитын дене шар болады. Қашықтыққа қойылған теңсіздік 0-ден 4 см-ге дейінгі барлық мәнді қамтиды. Радиусы 4 см сфера осы жиынның шекарасы ғана; ішкі нүктелермен бірге қарастырғанда толық шар пайда болады.

Қате нұсқаларды ажырату: A) Шеңбер: Шеңбер бір жазықтықта және тек шекарада жатады; кеңістіктегі ішкі нүктелерді қамтымайды.

B) Жазықтық: Жазықтық шексіз созылады; оның барлық нүктелерінің O-ға қашықтығы 4 см-ден аспайды деуге болмайды.

C) Призма: Призманың көпбұрышты табандары бар; берілген жиын барлық бағытта бірдей радиуспен шектеледі.

D) Сфера: Сферада қашықтық дәл 4 см; берілген жиын қашықтығы одан кіші нүктелерді де қамтиды.

Қайта орындауға ишара: Центрдің өзі берілген нүктелер жиынына кіре ме?

Ереже: Қима центрі шар центрінің жазықтыққа түсірілген перпендикулярының табаны болады. Шар радиусы R, қима радиусы r және қашықтық d үшін R²=r²+d².

Қолдану: r²=13²−5²=169−25=144. Радиус оң шама болғандықтан r=12 см. Мұнда 13 см гипотенуза, ал 5 см мен ізделінді радиус катеттер болады. Қима шеңберінің кез келген нүктесін шар центрімен қосамыз. Алынған 13 см кесінді гипотенуза, ал жазықтыққа дейінгі 5 см перпендикуляр қима радиусына тік; сондықтан квадраттар айырмасы қажет.

Қате нұсқаларды ажырату: B) 6 см: 6 см дұрыс қима радиусының жартысы; радиус табылғаннан кейін қайта екіге бөлу қажет емес.

C) √194 см: √194=√(13²+5²); қима радиусы гипотенуза емес, катет болғандықтан квадраттар қосылмайды.

D) 18 см: 13+5=18; қима радиусы шар радиусынан үлкен бола алмайды.

E) 8 см: 13−5=8; Пифагор қатынасында квадраттар айырмасынан түбір алынады.

Қайта орындауға ишара: Қима жазықтығына перпендикулярды жүргізіп, тікбұрышты үшбұрышты елестет.

Ереже: Шардың жазықтықпен қимасы дөңгелек болады. Оның радиусының квадраты R²−d²-қа тең, ал дөңгелек ауданы сол квадратты π санына көбейту арқылы табылады.

Қолдану: Қима үшін r²=10²−6²=64. Сондықтан қима ауданы πr²=64π см². Радиустың өзін есептемей, оның квадратын аудан формуласына тікелей қоюға болады. Жазықтық центрден 6 см ығысқандықтан қима ең үлкен дөңгелектен кіші болады. Аудан π(R²−d²) өрнегімен тікелей есептеліп, 64π нәтиже ең үлкен 100π ауданнан кіші екені тексеріледі.

Қате нұсқаларды ажырату: A) 100π см²: 100π — центр арқылы өтетін ең үлкен қима ауданы; 6 см ығысу ескерілмеген.

C) 256π см²: 256π=π·16²; қима диаметрі радиус ретінде қолданылған.

D) 8π см²: 8π қима радиусын квадраттамайды; дөңгелек ауданы πr².

E) 36π см²: 36π=π·6²; центрден жазықтыққа дейінгі қашықтық қима радиусы деп алынған.

Қайта орындауға ишара: Алдымен аудан ізделіп тұрғанын ескеріп, r² шамасын тап.

Ереже: Шар радиусы, қима радиусы және центрден жазықтыққа дейінгі қашықтық тікбұрышты үшбұрыш құрайды. Сондықтан қашықтықтың квадраты R²−r² болады.

Қолдану: d²=17²−8²=289−64=225. Қашықтық теріс болмайтындықтан d=15 см. Нәтиже шар радиусынан кіші, яғни қима шынымен бар. Қима радиусы мен центрден жазықтыққа түсірілген перпендикуляр өзара тік. 17 см шар радиусы осы үшбұрыштың ең ұзын қабырғасы; d=15 үшін 15²+8²=17² кері тексеруі орындалады.

Қате нұсқаларды ажырату: A) 9 см: 17−8=9; ұзындықтар айырмасы тікбұрышты үшбұрыштың екінші катетін бермейді.

B) 25 см: 17+8=25; қашықтық шар радиусынан асып, мұндай қима болмай қалады.

D) 7,5 см: 7,5 см дұрыс қашықтықты екіге бөледі; есепте диаметрден радиусқа өту жоқ.

E) √353 см: √353=√(17²+8²); катетті табу үшін квадраттар қосылмай, азайтылады.

Қайта орындауға ишара: Үшбұрыштағы ең ұзын кесінді шар радиусы екенін тексер.