∫[0; 1] 3x·e^x dx интегралын бөліктеп интегралдау арқылы есептеңіз.

Ереже: Бөліктеп интегралдау формуласы ∫u dv=uv−∫v du көбейтіндінің туындысынан шығады. u және dv таңдау есепті жеңілдетуі керек: көпмүшені дифференциалдағанда оның дәрежесі кемиді, ал e^x интегралданғанда өзгермейді. Анықталған интегралда шекаралық uv мүшесі де, қалған интеграл да ескеріледі. Дайын алғашқы функцияның туындысын тексеру таңба мен коэффициент қатесін табуға көмектеседі.

Шешу жолы: u=x, dv=e^x dx таңдағанда du=dx, v=e^x. Сондықтан алғашқы функция 3(x−1)e^x. Шектерде: x=1 кезінде 0, x=0 кезінде −3. Айырмасы 0−(−3)=3.

Жиі кездесетін қате: A) 3e: бөліктеп интегралдаудың шекаралық uv мүшесімен тоқтаған; қалған интеграл шегеріледі.

B) 3(e−1): x көбейткішін ескермей, тек e^x функциясын интегралдаған.

C) 3(2e−1): формуладағы минусты плюсқа ауыстырған; ∫u dv=uv−∫v du.

E) -3: алғашқы функцияның төменгі шектегі мәнін теріс таңбасымен тікелей жауап еткен.

Қайта орындауға ишара: u=x таңдаңыз; uv шекаралық мүшесін және қалған e^x интегралын қатар есептеңіз.