∫[0; 3] x dx интегралында u=2x алмастыруы жасалды. Есептеудің соңғы мәні қандай?

Ереже: Айнымалыны алмастырғанда интегралдағы өрнек, дифференциал және шектер бірге өзгереді. u=g(x) болса, du=g′(x)dx; жетіспейтін коэффициентті көбейткіш ретінде ескеру керек. Анықталған интегралды жаңа айнымалымен есептегенде бастапқы x шектеріне сәйкес u шектері қолданылады. Тек әріптің атын ауыстыру жеткіліксіз. Нәтижені бастапқы айнымалыдағы алғашқы функция арқылы қайта тексеруге болады.

Шешу жолы: x dx=(u/2)(du/2)=u du/4. Шектер 0 және 6. Нәтиже (1/4)·(6)^2/2=9/2. Бастапқы интегралдың x^2/2 алғашқы функциясы да осы мәнді береді.

Жиі кездесетін қате: A) 9: dx=du/2 коэффициентін жоғалтқан; x=u/2 шарты да қатар қолданылады.

B) 9/8: жаңа жоғарғы шекті 2a орнына a деп қабылдаған.

D) 18: x пен dx-тің екеуіндегі 1/2 көбейткіштерді де ескермеген.

E) -9/2: алғашқы функцияның шекаралық мәндерін кері ретпен азайтқан.

Қайта орындауға ишара: x=u/2 және dx=du/2 теңдіктерін екеуін де жазып, жаңа жоғарғы шекті есептеңіз.