Пирамида бетінің ауданы

Ереже: Пирамиданың толық беті барлық бүйір жақтар мен бір табаннан құралады. Сондықтан Sт=Sб+Sтаб.

Қолдану: Бүйір бетке табан бір рет қосылады: 90+25=115 см². Шартта бүйір жақтардың қосындысы дайын берілген, сондықтан оларды жеке қайта есептеу қажет емес. Пирамидада екінші параллель табан жоқ: бір табан мен барлық бүйір үшбұрыштар тұйық бетті береді. Екі берілген ауданның өлшем бірлігі бірдей болғандықтан оларды тікелей қосамыз.

Қате нұсқаларды ажырату: A) 140 см²: 90+2·25=140; табан екі рет саналған. Екі табан призмаға тән, пирамидаға емес.

B) 65 см²: 90−25=65; толық бетке кіретін табан ауданын азайтуға болмайды.

C) 90 см²: Бұл тек бүйір бет; толық бетке 25 см² табан қосылмаған.

D) 2250 см²: 90·25=2250; аудандарды көбейту см⁴ өлшемін береді, бет ауданы см² болуы тиіс.

Қайта орындауға ишара: Пирамида мен призманың табандар саны бірдей ме?

Ереже: Дұрыс пирамиданың бүйір жақтары ортақ биіктігі апофемаға тең үшбұрыштар болады. Олардың аудандары Sб=Pтаб·l÷2 формуласымен қосылады.

Қолдану: Берілгендер бойынша Sб=30·8÷2=120 см². Периметр бүкіл табан қабырғаларын қамтиды, сондықтан бүйір жақтардың санын тағы көбейтудің қажеті жоқ. 30 см — жеке қабырға емес, барлық қабырғалардың қосындысы. Әр қабырғаға сәйкес үшбұрыштың ауданындағы бір жарты көбейткіші қосындыда да бір рет сақталады.

Қате нұсқаларды ажырату: B) 60 см²: 30·8÷4=60; үшбұрыш ауданындағы жарты коэффициенті екінші рет қолданылған.

C) 240 см²: 30·8=240; үшбұрыштың ауданын есептегенде екіге бөлу ұмытылған.

D) 38 см²: 30+8=38; ұзындықтардың қосындысы аудан бермейді.

E) 64 см²: 8²=64; апофеманы квадраттау табан периметрін ескермейді.

Қайта орындауға ишара: Бір бүйір үшбұрыштың аудан формуласын барлық қабырғалар бойынша қос.

Ереже: Дұрыс төртбұрышты пирамиданың табаны шаршы. Бүйір бет ауданы 4a·l÷2=2al, ал толық бет оған a² табан ауданын қосады.

Қолдану: Бүйір бет 2·6·5=60 см². Табан ауданы 6²=36 см². Сондықтан Sт=60+36=96 см². Апофема 3 см табан радиусынан үлкен, дене биіктігі нақты болады. Төрт бүйір үшбұрыштың әрқайсысының ауданы 6·5÷2=15 см². Олардың қосындысы 60 см²; осыған шаршы табан бір рет қосылғанда ғана жабық бет толық есептеледі.

Қате нұсқаларды ажырату: A) 156 см²: 4·6·5+36=156; бүйір үшбұрыштардың ауданында екіге бөлу ұмытылған.

C) 132 см²: 60+2·36=132; пирамиданың жалғыз табаны екі рет қосылған.

D) 60 см²: 60 см² — бүйір бет ауданы; шаршы табанның 36 см² ауданы жоқ.

E) 66 см²: 30+36=66; дұрыс табанға бүйір беттің тек жартысы қосылған.

Қайта орындауға ишара: Төрт үшбұрыш пен бір шаршының аудандарын бөлек анықта.

Ереже: Бүйір бет формуласында пирамиданың биіктігі емес, бүйір үшбұрыштың биіктігі — апофема қолданылады. Ол табанның іштей сызылған шеңбер радиусымен байланысты.

Қолдану: Шаршы центрінен қабырға ортасына дейін 4 см. Апофема √(3²+4²)=5 см. Периметр 32 см болғандықтан Sб=32·5÷2=80 см². Бүйір үшбұрыштың биіктігін табу үшін төбе, табан центрі және қабырға ортасын аламыз. Бұл қимада катеттер 3 және 4 см, ал апофема гипотенуза болады.

Қате нұсқаларды ажырату: A) 48 см²: 32·3÷2=48; апофеманың орнына дененің биіктігі алынған.

B) 160 см²: 32·5=160; бүйір үшбұрыштардың ауданындағы жарты коэффициенті жоқ.

D) 144 см²: 80+64=144; бұл толық бет, ал сұрақ тек бүйір бетті сұрайды.

E) 64 см²: 8²=64; бұл шаршы табан ауданы, бүйір бет емес.

Қайта орындауға ишара: Алдымен бүйір үшбұрыштың биіктігін табу керек пе?

Ереже: Дұрыс үшбұрышты пирамидада үш бірдей бүйір үшбұрыш бар. Әрқайсысының табаны a, биіктігі l, ауданы a·l÷2.

Қолдану: Бір бүйір жақтың ауданы 6·5÷2=15 см². Үш жақтың қосындысы 3·15=45 см². Бұл Sб=Pтаб·l÷2 формуласымен де бірдей нәтиже береді. Апофема бүйір жақтың биіктігі ретінде дайын берілген. Теңқабырғалы табанның биіктігін не ауданын есептеу бүйір бетті табуға қажет емес; үш бүйір үшбұрышты қосу жеткілікті.

Қате нұсқаларды ажырату: A) 90 см²: 3·6·5=90; үшбұрыш ауданында екіге бөлу ұмытылған.

B) 45√3 см²: √3 көбейткіші теңқабырғалы үшбұрыш ауданында кездеседі, бірақ мұнда бүйір жақтың биіктігі 5 см деп берілген.

C) 30 см²: 2·15=30; үш бүйір жақтың орнына екеуі ғана саналған.

E) 15 см²: 6·5÷2=15; бұл бір ғана бүйір жақтың ауданы.

Қайта орындауға ишара: Бүйір жақтар саны табан қабырғаларының санына тең.