Пирамида және оның элементтері

Ереже: Пирамиданың бір жағы — көпбұрышты табан. Қалған жақтары табан жазықтығында жатпайтын бір ортақ төбеде түйісетін үшбұрыштар болады.

Қолдану: Бесбұрыштың әр қабырғасы ортақ төбемен бірге бір бүйір үшбұрыш құрайды. Сондықтан бүйір жақтардың саны бес және олардың бәрінің ортақ төбесі бар. Бір ортақ төбе табан жазықтығынан тыс жатады, ал әр үшбұрыштың табаны бесбұрыштың бір қабырғасы болады. Осылайша бүйір жақтарды табанның өзімен араластырмаймыз.

Қате нұсқаларды ажырату: A) Алты шаршы: шаршылар кубтың жақтары болуы мүмкін, бірақ бесбұрышты пирамиданың бүйір жағы үшбұрыш.

B) Бес трапеция: трапециялар төбесі қиылған пирамиданың бүйір жақтары болады, толық пирамиданың емес.

D) Екі бесбұрыш: екі тең бесбұрышты табан призмаға тән; пирамидада бір табан бар.

E) Бес тіктөртбұрыш: тіктөртбұрышты бүйір жақтар тік призмаға тән, пирамиданың ортақ төбесіне келмейді.

Қайта орындауға ишара: Табанның әр қабырғасын пирамиданың төбесімен ойша қос.

Ереже: n-бұрышты пирамиданың табанында n қыр және ортақ төбеден табан төбелеріне баратын n бүйір қыр болады. Барлығы 2n қыр.

Қолдану: Алтыбұрышты табан алты қыр береді. Пирамиданың ортақ төбесінен алты табан төбесіне тағы алты қыр жүргізіледі: 6+6=12. Әр табан төбесіне бір бүйір қыр сәйкес келеді. Бүйір жақтардың ортақ қабырғаларын қайта санамаймыз: барлық алты бүйір қыр мен алты табан қыры бір реттен есептеледі.

Қате нұсқаларды ажырату: A) 7: жақ санының n+1 формуласын барлық қырлар санына қолданған.

B) 14: алтының орнына жетібұрышты пирамиданың 2·7 қырын есептеген.

C) 18: призманың 3n формуласын пирамидаға қолданған; пирамидада екінші табан жоқ.

E) 6: бір топты ғана санап, не алты табан қырын, не алты бүйір қырды түсірген.

Қайта орындауға ишара: Табан қырлары мен бүйір қырларды жеке сана.

Ереже: n-бұрышты пирамиданың n табан төбесіне табан жазықтығынан тыс жатқан бір ортақ төбе қосылады. Сондықтан төбелер саны n+1.

Қолдану: Тоғызбұрышты табанда тоғыз төбе бар, ал үстіңгі ортақ төбе біреу. Олардың толық саны 9+1=10 болады. Табан төбелері бөлек тоғыз нүкте, ал пирамиданың ортақ төбесі тағы бір нүкте. Ортақ төбе әр бүйір үшбұрышта кездескенімен, бірнеше рет саналмайды.

Қате нұсқаларды ажырату: A) 11: табанға қосымша екі төбе енгізген, ал пирамиданың сыртқы ортақ төбесі біреу.

B) 18: екі тоғызбұрышты табан бар деп призмадағы 2n санын қолданған.

C) 19: әр бүйір жақ үшін ортақ төбені қайта санап, табан төбелерімен қосқан.

D) 9: тек табан төбелерін санап, табан жазықтығынан тыс ортақ төбені түсірген.

Қайта орындауға ишара: Пирамида төбесі мен табан төбелерінің санын ажырат.

Ереже: Пирамиданың қырлары екі тең санды топқа бөлінеді: табан қабырғалары және бүйір қырлар. Сондықтан E=2n.

Қолдану: 16=2n теңдігінен n=8. Демек, табанда сегіз қабырға бар және ол сегізбұрыш. Табанның дұрыс болуы бұл санаққа қажет емес. Табанда сегіз қыр болса, ортақ төбеден оның сегіз төбесіне сегіз бүйір қыр барады. Кері тексергенде 8+8=16, яғни барлық қыр саны бастапқы шартқа сәйкес келеді.

Қате нұсқаларды ажырату: B) Тоғызбұрыш: тоғызбұрышты табан 18 қыр берер еді; ол берілген 16 санына тең емес.

C) Жетібұрыш: жетібұрышты табан 14 қыр береді; екі қыр жетіспейді.

D) Он алтыбұрыш: барлық қырларды табан қабырғалары деп санап, бүйір қырларды ажыратпаған.

E) Алтыбұрыш: алтыбұрышты пирамиданың 12 қыры болады; бұл шарттағы 16-ға сәйкес келмейді.

Қайта орындауға ишара: Жалпы қыр санының қандай бөлігі табанға тиесілі?

Ереже: Пирамиданың биіктігі — оның төбесінен табан жазықтығына түсірілген перпендикуляр. Биіктіктің табаны табан көпбұрышының ішінде де, сыртында да болуы мүмкін.

Қолдану: S — пирамиданың төбесі, ал SO табан жазықтығына перпендикуляр екені берілген. Сондықтан ол биіктік анықтамасына тікелей сәйкес келеді; басқа теңдіктерді іздеу қажет емес. Перпендикулярдың табаны міндетті түрде қабырға ортасы немесе көпбұрыш центрі болуға тиіс емес. SO анықтамасында төбеден жазықтыққа перпендикулярлық негізгі белгі болып саналады.

Қате нұсқаларды ажырату: A) Табан диагоналі: табан диагоналінің екі ұшы табанда жатады; SO кесіндісінің S ұшы табаннан тыс.

C) Бүйір қыр: бүйір қыр міндетті түрде табан төбесіне барады, ал O кез келген табан жазықтығының нүктесі.

D) Міндетті түрде апофема: апофема бүйір үшбұрыш ішінде табан қабырғасына түседі; SO бүкіл табан жазықтығына перпендикуляр.

E) Табан қабырғасы: табан қабырғасы табан жазықтығында жатады, ал SO одан тыс төбеден түсірілген.

Қайта орындауға ишара: Кесінді қай нүктеден шығып, қай жазықтыққа перпендикуляр жүргізілген?