Қиық пирамида бетінің ауданы

Ереже: Дұрыс қиық пирамиданың бүйір беті теңбүйірлі трапециялардан құралады. Аудандарын қосқанда Sб=(P₁+P₂)l÷2 формуласы шығады.

Қолдану: Периметрлер қосындысы 40+16=56 см. Оның жартысын апофемаға көбейтеміз: Sб=28·13=364 см². Формула екі табан периметрін де қамтиды. Әр бүйір трапецияның екі параллель қабырғасы екі табанның сәйкес қабырғалары болады. Сондықтан олардың қосындылары екі периметрді береді; апофема барлық трапецияның ортақ биіктігі ретінде алынады.

Қате нұсқаларды ажырату: B) 728 см²: (40+16)·13=728; трапеция ауданындағы екіге бөлу ұмытылған.

C) 182 см²: 182 см² дұрыс ауданның жартысы; қосымша екіге бөлу қажет емес.

D) 156 см²: (40−16)·13÷2=156; трапеция табандары қосылуы керек, олардың айырмасы алынбайды.

E) 260 см²: 40·13÷2=260; кіші табанның периметрі түсіп қалған.

Қайта орындауға ишара: Трапеция ауданындағы параллель қабырғалар қосындысының жартысын еске түсір.

Ереже: Толық бет ауданы бүйір бетке екі табан ауданын қосудан табылады. Шаршы табандар үшін Sт=2(a+b)l+a²+b².

Қолдану: Бүйір беті 2·(10+4)·5=140 см². Табандар аудандары 100 және 16 см². Сондықтан Sт=140+100+16=256 см². Қиық пирамиданың бастапқы төбесі кесілгендіктен оның екі табаны бар. Бүйір трапециялардан алынған 140 см² ауданға үлкен және кіші шаршылардың әрқайсысын бір рет қосамыз.

Қате нұсқаларды ажырату: A) 140 см²: 140 см² — тек бүйір трапециялардың қосындысы; екі табан есептелмеген.

C) 240 см²: 140+100=240; кіші табанның 16 см² ауданы жоқ.

D) 156 см²: 140+16=156; үлкен табанның 100 см² ауданы жоқ.

E) 372 см²: 140+2·(100+16)=372; екі табанның әрқайсысы екі рет саналған.

Қайта орындауға ишара: Екі шаршының ауданын олардың жеке қабырғалары арқылы есепте.

Ереже: Дұрыс үшбұрыштың іштей сызылған шеңбер радиусы a√3÷6. Қиық пирамиданың апофемасы l²=h²+(r₁−r₂)² қатынасынан табылады.

Қолдану: Радиустар айырмасы (8−2)√3÷6=√3 см. Апофема √(6+3)=3 см. Периметрлер қосындысы 24+6=30 см, сондықтан Sб=30·3÷2=45 см². Апофеманың горизонталь проекциясы қабырға орталарына бағытталады, сондықтан іштей сызылған шеңбер радиустары керек. Төбелерге бағытталған сырттай шеңбер радиустарын қолдану бүйір қырды береді, апофеманы емес.

Қате нұсқаларды ажырату: A) 45√2 см²: 45√2 см² сырттай сызылған шеңбер радиустарының айырмасын қолданғанда шығады; бұл апофеманың проекциясы емес.

B) 15√6 см²: 30·√6÷2=15√6; дененің биіктігі апофеманың орнына қойылған.

D) 90 см²: 30·3=90; трапециялар аудандарын қосқанда екіге бөлу ұмытылған.

E) 45√3 см²: 45√3 см² нәтижесінде қосымша √3 енгізілген; ол радиус есебінде қолданылып, апофема 3 см болып табылды.

Қайта орындауға ишара: Бүйір трапецияның биіктігін дене биіктігі мен проекция айырмасынан тап.

Ереже: Дұрыс алтыбұрыштың ауданы 3√3·a²÷2. Қиық пирамиданың бүйір ауданы табан периметрлері қосындысының жартысын апофемаға көбейтуге тең.

Қолдану: Периметрлер 36 және 12 см, бүйір беті 48·4÷2=96 см². Табандар қосындысы 3√3·(36+4)÷2=60√3 см². Толық бет осы екеуінің қосындысы. Алтыбұрыштардың әрқайсысы алты теңқабырғалы үшбұрыштан құралады. Үлкен табан ауданы 54√3, кіші табандікі 6√3; осы екеуі ғана бүйір трапециялардың 96 см² ауданына қосылады.

Қате нұсқаларды ажырату: A) 96+30√3 см²: 30√3 табандар қосындысының жартысы; 60√3 см² болуы керек.

B) 60√3 см²: 60√3 см² тек екі табанды қамтиды; бүйір трапециялар қосылмаған.

C) 96 см²: 96 см² тек бүйір бет; екі алтыбұрышты табан есептелмеген.

E) 192+60√3 см²: 192 см² бүйір бет екі есе артық; трапеция ауданындағы жарты коэффициенті жоқ.

Қайта орындауға ишара: Екі алтыбұрыш пен алты бүйір трапецияны жеке топтарға бөл.

Ереже: Sб=(P₁+P₂)l÷2 формуласынан апофема l=2Sб÷(P₁+P₂) болады. Периметрлер қосындысы толық екі табан бойынша алынады.

Қолдану: Қосынды 32+16=48 см. Сондықтан l=2·192÷48=8 см. Бүйір бет ауданын ұзындыққа бөлгенде қайта ұзындық шығады. Периметрлерді алдымен қосамыз, өйткені трапецияның екі табаны да ауданға қатысады. Тексеру үшін (32+16)·8÷2=192 см² екенін есептейміз; алынған апофема шарттағы ауданды қайта береді.

Қате нұсқаларды ажырату: A) 4 см: 192÷48=4; бастапқы формуладағы екіге бөлу кері есепте өтелмеген.

B) 16 см: 16 см апофема 384 см² бүйір аудан береді; дұрыс ұзындық екі есе арттырылған.

C) 24 см: 384÷(32−16)=24; қосындының орнына периметрлер айырмасы алынған.

D) 12 см: 384÷32=12; кіші табанның 16 см периметрі ескерілмеген.

Қайта орындауға ишара: Белгісіз l-дің алдындағы коэффициент неге тең?