Конустың және қиық конустың көлемдері

Ереже: Конус көлемі табан дөңгелегінің ауданы мен перпендикуляр биіктігінің көбейтіндісінің үштен біріне тең. Формула V=πR²h/3, мұнда R радиус, h биіктік болады.

Қолдану: V=π·4²·9/3=48π см³. Радиус квадратталады, содан кейін биіктікке көбейтіліп үшке бөлінеді. Барлық берілген өлшемдер сантиметрмен алынған. Табан дөңгелегінің ауданы 16π см², ал сол табанды және 9 см биіктікті цилиндрдің көлемі 144π см³ болар еді. Конус осы цилиндрдің үштен бір көлемін алады, сондықтан соңғы үшке бөлу қажет.

Қате нұсқаларды ажырату: A) 96π см³: 96π дұрыс көлемнің екі есесі; конус көлемінде қосымша екі коэффициенті жоқ.

B) 144π см³: 144π=π·16·9 — бірдей табанды цилиндрдің көлемі; үшке бөлу жоқ.

C) 36π см³: 36π=π·4·9; радиус квадратталмай, үштен бір коэффициенті де қолданылмаған.

E) 16π см³: 16π — табан ауданының коэффициенті; биіктікпен көбейту орындалмаған.

Қайта орындауға ишара: Конус пен цилиндр көлемдерінің арасындағы үш есе айырманы ескер.

Ереже: Конус формуласында диаметр емес, радиус қолданылады. Диаметрдің жартысы радиус болады, ал V=πR²h/3 формуласындағы үштен бір коэффициенті өзгермейді.

Қолдану: R=12/2=6 см. V=π·36·5/3=60π см³. Алдымен берілген диаметрді радиусқа ауыстыру нәтижені төрт есе артық есептеуден сақтайды. 12 см диаметрді екіге бөлгенде 6 см радиус шығады. Оның квадраты 36 см² болғандықтан конус табаны 36π см²; осы аудан 5 см биіктікке көбейтіліп, үшке бөлінеді.

Қате нұсқаларды ажырату: A) 240π см³: 240π=π·12²·5÷3; диаметр радиус ретінде қолданылған.

B) 10π см³: 10π=π·6·5÷3; радиус квадратталмаған.

C) 180π см³: 180π=π·36·5; цилиндр көлемі табылып, үшке бөлу ұмытылған.

D) 120π см³: 120π дұрыс көлемнің екі есесі; конус формуласына артық екі көбейткіші қосылған.

Қайта орындауға ишара: Диаметрді екіге бөлгеннен кейін ғана квадратта.

Ереже: Көлем формуласында жасаушы емес, перпендикуляр биіктік қолданылады. Конустың осьтік жарты қимасында l²=R²+h², сондықтан алдымен биіктік анықталады.

Қолдану: h=√(13²−5²)=12 см. V=π·5²·12/3=100π см³. Жасаушы 13 см гипотенуза болғандықтан биіктік одан кіші шықты. Көлбеу 13 см жасаушы көлемді толтыратын вертикаль биіктік емес. Радиуспен Пифагор қатынасынан 12 см биіктік алынады; көлем формуласына табанның 25π см² ауданы және осы 12 см ғана кіреді.

Қате нұсқаларды ажырату: B) 325π/3 см³: 325π÷3=π·25·13÷3; жасаушы биіктік ретінде қолданылған.

C) 60π см³: 60π=π·5·12; радиус квадратталмай, конустың үшке бөлінуі де ескерілмеген.

D) 50π см³: 50π дұрыс көлемнің жартысы; табан дөңгелегіне артық жарты коэффициенті енгізілген.

E) 300π см³: 300π=π·25·12; цилиндр көлемі табылып, конус үшін үшке бөлу жоқ.

Қайта орындауға ишара: 13, 5 және белгісіз биіктіктен құралған тікбұрышты үшбұрышты қарастыр.

Ереже: V=πR²h/3 теңдеуінен h=3V/(πR²) шығады. Көлемді ауданға бөлгенде ұзындық алынады, бірақ конус үшін міндетті үш көбейткішін сақтау қажет.

Қолдану: h=3·75π/(25π)=9 см. Кері тексергенде π·25·9/3=75π см³ шығады. Бұл радиус пен биіктік оң болғандықтан конус құралады. Радиус 5 см болғандықтан табанның ауданы 25π см². Конус биіктігін алу үшін берілген 75π көлемді алдымен үшке көбейтіп, содан кейін осы ауданға бөлеміз; π қысқарып 9 см қалады.

Қате нұсқаларды ажырату: A) 45 см: 45=3·75÷5; бөлімдегі радиус квадратталмаған.

C) 3 см: 3=75÷25; конус формуласының үш коэффициенті кері шешуде өтелмеген.

D) 18 см: 18 см дұрыс биіктік екі еселенген; формулада қосымша екі көбейткіші жоқ.

E) 27 см: 27 см дұрыс биіктік қайта үшке көбейтілген; үш коэффициенті бір рет қолданылуы тиіс.

Қайта орындауға ишара: Алдымен көлем формуласын белгісіз h үшін түрлендір.

Ереже: Конус радиусы R²=3V/(πh) теңдеуінен табылады. Алынған шама радиустың квадраты болғандықтан, есептің соңында оның оң квадрат түбірін алу қажет.

Қолдану: R²=3·80π/(15π)=16. Осыдан R=4 см. Тексеру π·16·15/3=80π см³ береді. 3V÷πh қатынасы радиус квадратына тең, сондықтан 16 саны әлі ұзындық емес. Оң квадрат түбір 4 см радиусты береді; осы радиус 15 см биіктікпен бастапқы 80π көлемді қайта қалыптастырады.

Қате нұсқаларды ажырату: A) 4√3 см: 4√3 см радиус квадратына үш коэффициентін тағы бір рет қосқанда шығады: √48.

B) 2 см: 2 см дұрыс радиусты диаметр деп қайта екіге бөледі.

D) 8 см: 8 см — конус табанының диаметрі; сұралған радиус 4 см.

E) 16 см: 16 — радиус квадратының сан мәні; соңғы квадрат түбір алынбаған.

Қайта орындауға ишара: R² табылғаннан кейін тағы бір амал қажет екенін еске түсір.