Қума толқын теңдеуі

Ереже: y=A sin(ωt−kx) теңдеуінде ω=2πf, k=2π/λ. Таралу жылдамдығының модулі v=ω/k=λf болады. Коэффициенттердің өлшемдері әртүрлі болғандықтан оларды тікелей f пен λ деп алуға болмайды.

Қолдану: ω=40π рад/с және k=5π рад/м. Осыдан f=40π/(2π)=20 Гц, λ=2π/(5π)=0,40 м, v=40π/(5π)=8,0 м/с. Кері тексеруде λf=0,40·20=8,0 м/с шығады. Амплитуда 0,030 м бұл есептерге көбейткіш болып кірмейді; ол бөлшектің максимал ығысуын ғана анықтайды.

Қате нұсқалар: A) 40π — циклдік жиілік ω, кәдімгі жиілік f емес. f=ω/(2π) түрлендіруін елемеу жылдамдықты да артық есептетеді.

B) 5π — толқындық сан k, оның өлшемі метрге кері. Оны толқын ұзындығына тікелей теңестіруге болмайды.

C) Бұл λ үшін 2π/k орнына π/k алу. Толық кеңістіктік қайталану фазаның π емес, 2π өзгерісіне сәйкес.

E) Жиілік пен жылдамдықтың сандық орындары ауыстырылған. ω коэффициентінен жиілік, ал ω/k қатынасынан таралу жылдамдығы табылады. Ишара: Уақыт және координата коэффициенттерін ω мен k-ға сәйкестендір.

Ереже: Толқын бағытын синус алдындағы жалпы таңбадан емес, фазаның тұрақтылық шартынан анықтаймыз. ωt+kx тұрақты болса, x уақыт өскенде кемиді; модуль ω/k-ға тең болады.

Қолдану: 12t+3x=C теңдеуінен x=C/3−4t. Демек, фазаның таңдалған нүктесінің координатасы секундына 4 м кемиді, бағыт −x. Мұнда орта бөлшегінің тербеліс бағыты туралы бөлек тұжырым жасамаймыз: есеп жотаның немесе бірдей фаза нүктесінің таралуын сұрайды. Тербеліс амплитудасы 0,020 м бағыт пен модульді өзгертпейді.

Қате нұсқалар: A) Бұл k/ω кері қатынасын жылдамдық деп алу. Дұрыс модуль ω/k=12/3=4 м/с.

B) Бұл ωk көбейтіндісі және қате бағыт. Бірдей фаза шарты коэффициенттердің қатынасын, әрі теріс бағытты береді.

D) Модуль дұрыс, бірақ фазаны тұрақты ұстағанда 12t+3x=const үшін t өссе x кемуі керек. Бағыт теріс болады.

E) Екі айнымалы фазада қосындымен берілген, бұл қарсы бағыттағы қума толқын. Ол тұрғын толқынның кеңістік пен уақыт көбейтіндісі емес. Ишара: 12t+3x тұрақты болу үшін уақыт өскенде x қалай өзгереді?

Ереже: Оң бағытта таралатын қума толқын алыстағы нүктеге көздің бұрынғы күйін жеткізеді. Жол x және жылдамдық v үшін кідіріс τ=x/v; сондықтан көз теңдеуіндегі уақыт t−τ-ға ауыстырылады.

Қолдану: τ=x/v болғандықтан y(x,t)=A sin[ω(t−x/v)]. x=0 қойғанда бастапқы y(0,t)=A sinωt дәл қайтып келеді. Ал x артқан сайын фаза бір мезетте кеміп, кешігу ұлғаяды. Орныққан режим мен өшудің жоқтығы амплитуданы A түрінде сақтауға мүмкіндік береді; импульстің алғаш келуіне дейінгі кезең мұнда қарастырылмайды.

Қате нұсқалар: A) tx/v шамасының өлшемі уақыттың квадраты. Сонымен бірге x=0 болғанда берілген көз тербелісі орнына нөл береді.

B) Бұл барлық нүктелерді бір мезетте бірдей фазада етеді. Шекті v кезінде координатаға тәуелді таралу кідірісі сақталуы керек.

D) v/x шамасының өлшемі секундқа кері, уақыт емес. Оны t секундтан азайту өлшем жағынан дұрыс болмайды.

E) Бұл нүктенің фазасын көзден ілгері қояды. Берілген оң бағытта алыстағы нүкте көз күйін x/v уақытқа кешігіп қайталайды. Ишара: Алыстағы нүкте көздің қазіргі емес, бұрынғы күйін қайталайды.

Ереже: Толқын теңдеуінен бір нүктенің лездік ығысуын табу үшін координата мен уақытты бір фазаның ішіне бірге қоямыз. Косинус пен синус бастапқы фазалары өзгеше, олардың нөлдегі мәндері бірдей емес.

Қолдану: 20π·0,025=π/2 және 2π·0,25=π/2. Фаза π/2−π/2=0, сондықтан y=0,040cos0=+0,040 м. Бұл бөлшектің дәл сол мезетте оң шеткі орынға жеткенін білдіреді. Ол толқынның таралу жылдамдығы немесе барлық нүктенің бір мезеттегі ығысуы емес; басқа x үшін сол t кезіндегі фаза өзгеше болуы мүмкін.

Қате нұсқалар: B) Сандық есеп дұрыс, бірақ метр сантиметрмен ауыстырылған. Теңдеу коэффициенті 0,040 м, ол 4,0 см-ге тең.

C) Бұл косинусты синуспен шатастыру. Екі мүшенің айырмасы нөл болғанда cos0=1, ал sin0=0.

D) Бұл екі фазалық мүшені азайтудың орнына қосқанда шығады: π/2+π/2=π. Берілген теңдеуде координата мүшесі минус таңбамен тұр.

E) Бұл амплитуданы орынсыз екіге бөлу. Берілген мезетте косинус бір, сондықтан ығысу толық оң амплитудаға тең. Ишара: Алдымен екі фазалық мүшені есептеп, олардың айырмасын ал.

Ереже: Бір материал нүктесі үшін x тұрақты, ал жылдамдық u=∂y/∂t=Aωcos(ωt−kx). Оның максимал модулі Aω; қума толқынның таралу жылдамдығы ω/k деген бөлек шама болады.

Қолдану: u_max=0,0020·100π=0,20π м/с, шамамен 0,628 м/с. Толқын профилі 25 м/с жылдамдықпен таралғанымен жіп бөлшегі сол жылдамдықпен жіп бойымен көшпейді. Ол өз тепе-теңдігі маңында тербеледі. Үдеу амплитудасын сұраса Aω² қолданылар еді, бірақ бұл сұрақта уақыт бойынша бірінші туынды жеткілікті.

Қате нұсқалар: B) Бұл ω/k=100π/(4π) толқынның таралу жылдамдығы. Сұрақ жіп бөлшегінің жергілікті тербеліс жылдамдығын сұрайды.

C) Бұл A·f=0,002·50, бірақ максимал жылдамдықта циклдік жиілік ω=2πf керек. 2π көбейткіші түсіп қалған.

D) Бұл амплитуданың санын жылдамдыққа көшіру. Жылдамдық үшін уақыт бойынша өзгеру қарқынын да есепке алу керек.

E) Бұл Aω² үдеу амплитудасының сандық мәні. Үдеу м/с² өлшенеді, жылдамдық бір ғана ω көбейткішін пайдаланады. Ишара: Жергілікті жылдамдықтың амплитудасы Aω, таралу жылдамдығы ω/k.