y=12x², y=0, x=0 және x=3 сызықтарымен шектелген қисықсызықты трапецияның ауданын табыңыз.

Ереже: Алғашқы функция F үшін F′=f; бір аралықтағы барлық алғашқы функциялар тек қосылған тұрақтыға өзгешеленеді. Анықталған интеграл ∫[a; b]f(x)dx=F(b)−F(a), шектерді ауыстыру таңбаны өзгертеді. Геометриялық аудан теріс болмайды: осьтен төмен графикте |f(x)| интегралданады, екі график арасында жоғарғы функциядан төменгі функция алынады. Бастапқы шарт алғашқы функциядағы тұрақтыны анықтайды; интеграл мен туынды амалдарын алмастырмаңыз.

Шешу жолы: 0≤x≤3 аралығында 12x²≥0. Сондықтан аудан ∫[0; 3]12x²dx=[4x³]₀³=4·27=108. y=0 төменгі шекара, сондықтан функциялардың айырмасы 12x²; қисық астындағы аудан интегралмен табылады.

Жиі кездесетін қате: A) 324: x² интегралындағы 1/3 коэффициентін жоғалтқан.

C) 36: функцияның өзгеруін ескермей, 12 тұрақтысын ғана еніне көбейткен.

D) -108: геометриялық ауданға интегралдың негізсіз теріс таңбасын берген.

E) 54: ауданды үшбұрыш формуласымен екіге бөліп, қисықтың квадраттық екенін ескермеген.

Қайта орындауға ишара: Функция оң болғандықтан геометриялық аудан оның анықталған интегралына тең.