f(x)=4x². Оның барлық алғашқы функцияларын көрсетіңіз.

Ереже: Алғашқы функция F үшін F′=f; бір аралықтағы барлық алғашқы функциялар тек қосылған тұрақтыға өзгешеленеді. Анықталған интеграл ∫[a; b]f(x)dx=F(b)−F(a), шектерді ауыстыру таңбаны өзгертеді. Геометриялық аудан теріс болмайды: осьтен төмен графикте |f(x)| интегралданады, екі график арасында жоғарғы функциядан төменгі функция алынады. Бастапқы шарт алғашқы функциядағы тұрақтыны анықтайды; интеграл мен туынды амалдарын алмастырмаңыз.

Шешу жолы: ∫4x²dx=(4/3)x³+C. Тексеру: ((4/3)x³+C)′=4x², тұрақтының туындысы нөл. Әр түрлі C бірдей бастапқы функцияға келеді; барлық алғашқы функцияларды көрсету үшін C еркін болуы керек.

Жиі кездесетін қате: A) F(x)=4x^3+C: дәрежені арттырғанмен, жаңа 3 көрсеткішіне бөлуді ұмытқан.

B) F(x)=8x+C: интегралдау орнына туындыға жақын өрнек алған.

D) F(x)=2x^2+C: дәрежені арттырмай, тек коэффициентті екіге бөлген.

E) F(x)=(4/3)x^3: бір ғана алғашқы функцияны берген; барлық алғашқы функциялар үшін еркін C қажет.

Қайта орындауға ишара: Дәреже көрсеткішін бірге арттырып, жаңа көрсеткішке бөліңіз; еркін тұрақтыны қосыңыз.