∫[0; 3] 8x² dx анықталған интегралын есептеңіз.

Ереже: Алғашқы функция F үшін F′=f; бір аралықтағы барлық алғашқы функциялар тек қосылған тұрақтыға өзгешеленеді. Анықталған интеграл ∫[a; b]f(x)dx=F(b)−F(a), шектерді ауыстыру таңбаны өзгертеді. Геометриялық аудан теріс болмайды: осьтен төмен графикте |f(x)| интегралданады, екі график арасында жоғарғы функциядан төменгі функция алынады. Бастапқы шарт алғашқы функциядағы тұрақтыны анықтайды; интеграл мен туынды амалдарын алмастырмаңыз.

Шешу жолы: Алғашқы функция F(x)=(8/3)x³. Сондықтан интеграл F(3)−F(0)=(8/3)·27−0=72. Аралықта 8x²≥0, нәтиженің оң болуы геометриялық түсіндірумен сәйкес келеді.

Жиі кездесетін қате: A) 216: алғашқы функцияда жаңа 3 дәрежесіне бөлуді жоғалтқан.

C) 24: x² мүшесін интегралдағанда дәрежені арттыруды ұмытып, тек шек ұзындығына көбейткен.

D) -72: жоғарғы және төменгі шектің айырмасын кері алған.

E) 36: интеграл коэффициентін негізсіз екіге азайтқан.

Қайта орындауға ишара: Алғашқы функцияны тауып, жоғарғы шектегі мәннен төменгі шектегіні шегеріңіз.