«Денелердің көлемдері» бөлімін қайталауға арналған жаттығулар

Ереже: Призма көлемі V=Sтаб·h. Ромб табанының ауданы диагональдар көбейтіндісінің жартысы; диагональдар өзара перпендикуляр болғандықтан аудан формуласында екіге бөлу қажет.

Қолдану: Ромб табанының ауданы d₁d₂/2=10·12/2=60 см². Призманың көлемі V=Sh=60·7=420 см³. Диагональдар қабырғалар емес, сондықтан тіктөртбұрыш ауданының формуласын бөлусіз қолдануға болмайды.

Қате нұсқаларды ажырату: A) 840 см³: Ромб ауданын есептегенде екіге бөлу ұмытылған.

B) 60 см³: Бұл табан ауданы; биіктік көбейткіші жоқ.

D) 140 см³: Пирамиданың үшке бөлуі призмаға қолданылған.

E) 154 см³: Диагональдарды қосу табан ауданын бермейді.

Қайта орындауға ишара: Ромбтың ауданын жеке есептеп, биіктікке көбейтіңіз.

Ереже: Призма көлеміндегі h — табандар арасындағы перпендикуляр биіктік. Көлбеу бүйір қыр b және оның табандағы проекциясы p үшін h²=b²−p²; көлемге көлбеу қырды тікелей қоюға болмайды.

Қолдану: Перпендикуляр биіктік h=√(13²−5²)=12 см. Призма көлемі 40·12=480 см³. Көлбеу бүйір қырды тік биіктікке алмастыру көлемді артық береді; проекция мен биіктік бір тікбұрышты үшбұрыштың катеттері.

Қате нұсқаларды ажырату: A) 520 см³: Бүйір қыр перпендикуляр биіктік ретінде алынған.

B) 200 см³: Қырдың табандағы проекциясы биіктік емес.

C) 160 см³: Пирамидадағы үшке бөлу призмаға қолданылған.

E) 320 см³: Қыр мен проекцияның айырмасы биіктік бермейді; Пифагор керек.

Қайта орындауға ишара: Алдымен қырдан және оның проекциясынан перпендикуляр биіктікті табыңыз.

Ереже: Пирамида көлемі V=Sтаб·h/3. Дұрыс төртбұрышты пирамидада апофема l, дене биіктігі h және табан қабырғасының жартысы үшін h²=l²−(a/2)²; көлемде апофема емес, h қолданылады.

Қолдану: Табан центрінен қабырғаға дейін 6 см. Биіктік h=√(10²−6²)=8 см. Табан ауданы 144 см², көлем V=144·8/3=384 см³; апофема бүйір жақтағы биіктік, дененің биіктігі емес.

Қате нұсқаларды ажырату: A) 480 см³: Апофема биіктік ретінде алынған.

B) 1152 см³: Пирамида көлеміндегі үшке бөлу жоқ.

C) 144 см³: Бұл тек шаршы табанның ауданы; көлем емес.

D) 192 см³: Табанның ауданын екіге бөлуге негіз жоқ.

Қайта орындауға ишара: Апофема, табанның іштей сызылған шеңбер радиусы және биіктік үшбұрышын пайдаланыңыз.

Ереже: Табанға параллель қима ұқсас кіші пирамида бөледі. Биіктіктер қатынасы k болса, кіші көлем k³V; қалған қиық бөліктің көлемі толық көлемнен кіші көлемді азайту арқылы табылады.

Қолдану: Кіші пирамида ұқсастық коэффициенті 2/5, көлем үлесі (2/5)³=8/125. Оның көлемі 375·8/125=24 см³. Қалған қиық дене 375−24=351 см³; аудан үшін квадрат, көлем үшін куб қолданылады.

Қате нұсқаларды ажырату: B) 24 см³: Бұл бөлінген кіші пирамида көлемі; қалған бөлік сұралған.

C) 225 см³: Биіктік қатынасы көлемге сызықтық түрде қолданылған.

D) 315 см³: Көлем қатынасына сызықтық коэффициенттің квадраты қолданылған.

E) 375 см³: Кесілген кіші пирамида алынбаған.

Қайта орындауға ишара: Алдымен кіші пирамиданың көлем үлесін кубтық қатынаспен табыңыз.

Ереже: Қиық пирамиданың көлемі V=h(S₁+√(S₁S₂)+S₂)/3. Мұнда S₁ және S₂ — параллель табан аудандары; ортаңғы мүше аудандардың геометриялық ортасы, олардың жай арифметикалық ортасы емес.

Қолдану: V=h(S₁+S₂+√(S₁S₂))/3. Геометриялық орта √(64·16)=32 см², сондықтан V=3(64+16+32)/3=112 см³. Қиық пирамиданың табандары ұқсас және қима ауданы биіктік бойынша сызықтық емес, квадрат заңымен өзгереді.

Қате нұсқаларды ажырату: A) 80 см³: Табандар аудандарының геометриялық ортасы √(64·16)=32 түсіп қалған.

C) 336 см³: Формуладағы үшке бөлу ұмытылған.

D) 240 см³: 240=(64+16)·3: екі табан ауданының қосындысы биіктікке көбейтілген; геометриялық орта мен үшке бөлу ескерілмеген.

E) 32 см³: Бұл табандар аудандарының геометриялық ортасы; көлем емес.

Қайта орындауға ишара: Қосындыдағы үшінші мүшені, геометриялық ортаны ұмытпаңыз.