Шардың және оның бөліктерінің көлемдері

Ереже: Шар көлемі V=4πR³/3 формуласымен есептеледі. Радиус үшінші дәрежеге көтеріледі, сондықтан бет ауданына арналған R² формуласымен шатастырмау қажет.

Қолдану: R³=27 см³. V=4π·27/3=36π см³. Үшке бөлгеннен кейін төрт пен тоғыз көбейтіліп, коэффициент 36 шығады. Радиус шардың үш кеңістік бағытындағы өлшемін анықтайтындықтан үшінші дәрежеге көтеріледі. 3³=27 табылғаннан кейін 4÷3 тұрақты коэффициенті қолданылады; бет ауданына тән квадрат көлемді бермейді.

Қате нұсқаларды ажырату: A) 12π см³: 12π=4π·3²÷3; радиус квадратталған, көлем үшін кубтау керек.

B) 108π см³: 108π=4π·27; үшке бөлу ұмытылған.

C) 9π см³: 9π — ең үлкен дөңгелек ауданының коэффициенті; шар көлемі емес.

D) 27π см³: 27π=π·3³; 4÷3 коэффициенті толық қолданылмаған.

Қайта орындауға ишара: Радиус кубы мен 4/3 көбейткішін бөлек есепте.

Ереже: Шар көлемінің негізгі формуласында радиус қолданылады. Диаметрдің жартысы радиусқа тең. Диаметрді тікелей пайдалану үшін V=πD³/6 балама формуласын қолдануға болады.

Қолдану: R=12/2=6 см. V=4π·216/3=288π см³. Диаметрмен тексерсек π·12³/6 сол санды береді. Диаметр 12 см шарға қарама-қарсы екі бағыттағы радиустар қосындысын береді, сондықтан R=6 см. Радиусты екіге кішірейту кубты сегіз есе өзгертеді; диаметрді радиус орнына қою көлемді сегіз есе арттырады.

Қате нұсқаларды ажырату: B) 2304π см³: 2304π=4π·12³÷3; 12 см диаметр радиус деп алынған.

C) 864π см³: 864π=4π·6³; үшке бөлу ұмытылған.

D) 144π см³: 144π=4π·6² — сфера бетінің коэффициенті; көлем үшін радиус кубталады.

E) 72π см³: 72π дұрыс көлем төртке бөлінген; 4÷3 формуласындағы төрт көбейткіші түсіп қалған.

Қайта орындауға ишара: Диаметрді радиусқа айналдырғанда кубтық тәуелділікті ескер.

Ереже: V=4πR³/3 теңдеуінен R³=3V/(4π) шығады. Радиусты табу үшін соңында куб түбір алынады, квадрат түбір көлемге қатысты бұл кері есепті шешпейді.

Қолдану: R³=3·(500π/3)/(4π)=125. 5³=125 болғандықтан R=5 см. Радиус оң ұзындық ретінде алынады. Көлем теңдігінен шыққан 125 саны радиустың кубы болады. Куб түбір 5 см; 5²=25 шар көлемін емес, ауданға қажет радиус квадратын береді, сондықтан кері амалдарды шатастырмау керек.

Қате нұсқаларды ажырату: A) 125 см: 125 — радиус кубының сан мәні; ұзындық алу үшін куб түбір қажет.

C) √125 см: √125 квадрат түбір алған; белгісіз радиус үшінші дәрежеде болғандықтан куб түбір керек.

D) 25 см: 25 — дұрыс радиустың квадраты; сұралған радиус 5 см.

E) 10 см: 10 см — шар диаметрі; радиус сұралған.

Қайта орындауға ишара: Қандай санды үш рет көбейткенде 125 шығады?

Ереже: Шар көлемі радиустың кубына тура пропорционал. Барлық тұрақты көбейткіштер салыстыру кезінде қысқарып, радиустар қатынасының үшінші дәрежесі қалады.

Қолдану: Жаңа радиус 2R болса, V₂=4π(2R)³/3=8V₁. Сондықтан көлем сегіз есе артады. Бұл ауданның төрт есе артуынан бөлек нәтиже. Жаңа радиус екі еселенгенде үш бағыттағы өзгеріс 2·2·2=8 болады. Ескі және жаңа формулаларды бөлсек тұрақты 4π÷3 қысқарып, тек радиустар қатынасының кубы қалады.

Қате нұсқаларды ажырату: A) 4 есе: 4 есе сфера бетінің аудан өзгерісі; көлем үшін үшінші дәреже керек.

B) 16 есе: 16 есе екі коэффициенті төртінші дәрежеге көтерілген; көлем үш бағыттан тұрады.

D) 6 есе: 6 есе 2+2+2 қосындысын қолданады; көлем коэффициенттері көбейтіледі.

E) 2 есе: 2 есе ұзындық өзгерісі ғана; шар көлемі радиус кубына тәуелді.

Қайта орындауға ишара: Ұзындық, аудан және көлем үшін дәрежелер бір, екі және үш болатынын ажырат.

Ереже: Шарлардың көлемдері радиустар кубтарына пропорционал. Радиустар қатынасын алу үшін көлемдер қатынасынан куб түбір шығару қажет және салыстыру ретін сақтау керек.

Қолдану: R₁³/R₂³=27/8. Сондықтан R₁/R₂=3/2, яғни 3 : 2. Екі радиус оң болғандықтан оң куб түбірлер қолданылады. Көлемдердегі ортақ 4π÷3 коэффициенті қысқарғаннан кейін радиустар кубтары қалады. 27 мен 8 сандарын 3³ және 2³ түрінде жазып, салыстыру ретін сақтап куб түбірін аламыз.

Қате нұсқаларды ажырату: A) 9 : 4: 9:4 — бет аудандарының қатынасы; радиустар үшін 3:2 болуы керек.

B) 27 : 8: 27:8 көлем қатынасын радиустарға түбірсіз көшірген.

C) 2 : 3: 2:3 денелердің ретін ауыстырады; бірінші көлем үлкен болғандықтан бірінші радиус та үлкен.

E) 81 : 16: 81:16 радиустар қатынасын төртінші дәрежеге көтереді; ұзындық қатынасы үшін тек куб түбір қажет.

Қайта орындауға ишара: 27=3³ және 8=2³ жіктеулерін пайдалан.