Пирамиданың және қиық пирамиданың көлемдері

Ереже: Кез келген пирамиданың көлемі табан ауданы мен перпендикуляр биіктіктің көбейтіндісінің үштен біріне тең: V=Sh/3. Бүйір қыры немесе апофема биіктік орнына алынбайды.

Қолдану: V=30·9/3=90 см³. Берілген табан ауданы дайын болғандықтан оның пішінін қосымша анықтау қажет емес. Көлем бірлігі см³ болады. Табанға параллель қималар төбеге жақындағанда кішірейеді, сондықтан пирамида бірдей табанды және биіктікті призмадан үш есе аз көлем алады. Бұл үштен бір коэффициенті дайын табан ауданына да міндетті түрде қолданылады.

Қате нұсқаларды ажырату: A) 30 см³: 30 — табан ауданының сан мәні; биіктік пен көлемнің үштен бір коэффициенті бірге қолданылмаған.

C) 270 см³: 30·9=270; призма көлемі табылған, пирамида үшін үшке бөлу керек.

D) 135 см³: 30·9÷2=135; пирамидадағы үшке бөлу екіге бөлумен ауыстырылған.

E) 810 см³: 810=30·9·3; үшке бөлудің орнына көбейткен.

Қайта орындауға ишара: Табан ауданы мен биіктік көбейтіндісінен үштен бірін ал.

Ереже: Дұрыс төртбұрышты пирамиданың табаны шаршы. Шаршы ауданы a², сондықтан көлем V=a²h/3 формуласына келеді. Биіктік табан жазықтығына перпендикуляр өлшенеді.

Қолдану: Табан ауданы 6²=36 см². V=36·5/3=60 см³. Алдымен шаршы ауданы, кейін пирамиданың үштен бір коэффициенті қолданылды. 6 см қабырға шаршының екі бағытына да тиесілі, сондықтан табан 36 см² болады. 5 см биіктік осы ауданға көбейтіледі, кейін пирамидаға тән үшке бөлу орындалып, 60 см³ алынады.

Қате нұсқаларды ажырату: A) 90 см³: 36·5÷2=90; көлемді үшке емес, екіге бөлген.

B) 30 см³: 30 см³ дұрыс көлемнің жартысы; шаршы табанға үшбұрыштағы жарты коэффициенті енгізілген.

D) 40 см³: 4·6·5÷3=40; шаршы ауданы орнына оның периметрі қолданылған.

E) 180 см³: 36·5=180; бұл бірдей табанды призманың көлемі, үшке бөлу жоқ.

Қайта орындауға ишара: Шаршы табанды үшбұрыш табанмен шатастырма.

Ереже: Тікбұрышты үшбұрыш ауданы катеттер көбейтіндісінің жартысына тең. Пирамида көлемі үшін сол табан ауданы биіктікке көбейтіліп, қосымша үшке бөлінеді.

Қолдану: S=6·8/2=24 см². V=24·9/3=72 см³. Екіге бөлу үшбұрыш ауданына, үшке бөлу пирамида көлеміне қатысты, екеуі де сақталады. Есепте екі бөлек коэффициент бар: табан үшбұрыш болғандықтан аудан жарты көбейтінді, ал дене пирамида болғандықтан көлем аудан мен биіктік көбейтіндісінің үштен бірі. Бір коэффициент екіншісін алмастырмайды.

Қате нұсқаларды ажырату: A) 108 см³: 108=24·9÷2; табан дұрыс болғанмен пирамида көлемі үшке емес, екіге бөлінген.

B) 24 см³: 24 — табан ауданының сан мәні; дененің 9 см биіктігі мен үшке бөлу қадамы жоқ.

C) 216 см³: 216=24·9; призма формуласы қолданылып, үшке бөлу ұмытылған.

E) 144 см³: 144=6·8·9÷3; табан үшбұрышының ауданында екіге бөлу ұмытылған.

Қайта орындауға ишара: Екіге және үшке бөлудің әрқайсысы қай қадамға қатысты екенін анықта.

Ереже: V=Sh/3 теңдеуін биіктікке қатысты шешкенде h=3V/S алынады. Үштен бір коэффициентін жою үшін көлемді үшке көбейтеді, содан кейін ауданға бөледі.

Қолдану: h=3·80/48=240/48=5 см. Кері тексеру 48·5/3=80 см³ береді. Өлшем бірліктері көлемді ауданға бөлгенде сантиметрге қысқарады. Биіктікке өту кезінде пирамиданың үштен бір коэффициенті кері бағытта үшке көбейтуге айналады. Содан кейін 48 см² табан ауданына бөлгенде ұзындық қалады; алынған 5 см қайта тексеріледі.

Қате нұсқаларды ажырату: A) 10 см: 10 см дұрыс биіктіктің екі есесі; көлемді кері шешкенде қосымша екі көбейткіші жоқ.

B) 3840 см: 80·48=3840; көлем мен ауданды көбейту биіктік бермейді және үш коэффициентін де ескермейді.

C) 15 см: 15 см дұрыс биіктікті қайта үшке көбейтеді; үш коэффициенті бір рет жеткілікті.

D) 5/3 см: 80÷48=5÷3; пирамидадағы үштен бір коэффициенті кері шешуде өтелмеген.

Қайта орындауға ишара: Белгісіз биіктікті оқшауламас бұрын теңдеудің екі жағын үшке көбейт.

Ереже: Призма көлемі Sh, ал пирамида көлемі Sh/3 болады. Табан аудандары мен биіктіктері бірдей болғандықтан салыстыруда Sh ортақ көбейткіші қысқарады.

Қолдану: Vпр/Vпир=Sh/(Sh/3)=3. Демек призма көлемі пирамида көлемінен үш есе үлкен және сұралған ретті қатынас 3 : 1. Екі дене бірдей S және h шамаларын қолданса да олардың қималары әртүрлі: призмада тұрақты, пирамидада төбеге дейін кішірейеді. Сондықтан тек көлем формулаларындағы үштен бір коэффициенті қатынасты анықтайды.

Қате нұсқаларды ажырату: B) 9 : 1: 9:1 үш коэффициентін квадраттайды; бұл формулалар салыстыруында квадраттау жоқ.

C) 1 : 3: 1:3 дұрыс қатынастың кері реті; алымда призма көлемі сұралған.

D) 1 : 1: 1:1 табандар мен биіктіктер бірдей болса көлем де тең деп қабылдайды, пирамида коэффициентін елемейді.

E) 2 : 1: 2:1 пирамидаға қате жарты коэффициентін қолданады; нақты коэффициент үштен бір.

Қайта орындауға ишара: Алдымен қай дененің көлемі алымда тұрғанын тексер.