Денелер көлемдерінің жалпы қасиеттері. Призманың көлемі

Ереже: Көлемдері бірдей денелер тең шамалы деп аталады. Бұл анықтама тек көлемді салыстырады, денелердің пішіндерінің немесе беттерінің бірдей болуын талап етпейді.

Қолдану: Мысалы, өлшемдері 2×2×2 және 1×2×4 болатын тікбұрышты параллелепипедтердің көлемдері 8-ге тең. Пішіндері мен бет аудандары әртүрлі болса да, олар тең шамалы болады. Мысалдағы екі дененің толық беттері тиісінше 24 және 28 шаршы бірлік. Көлемдері 8 болғанымен беттері мен өлшемдері бөлек; «тең шамалы» термині тек көлем бірдей екенін білдіреді.

Қате нұсқаларды ажырату: B) Олардың пішіндері бірдей: Бірдей көлем денелердің пішінін бекітпейді; 2×2×2 куб пен 1×2×4 блок бірдей көлемге ие.

C) Олардың биіктіктері бірдей: Биіктігі әртүрлі денелердің табан аудандары оны өтеп, көлемдері тең болуы мүмкін.

D) Олардың сәйкес барлық өлшемдері тең: Барлық өлшемдердің теңдігі көлемдер теңдігінен күштірек шарт; берілгені тек бір санның теңдігі.

E) Олардың толық беттерінің аудандары бірдей: Тең көлемге әртүрлі бет аудандары сәйкес келеді; келтірілген блоктардың беттері 24 және 28.

Қайта орындауға ишара: Тең көлем мен геометриялық теңдіктің шарттарын ажырат.

Ереже: Көлемнің қосылғыштық қасиеті бойынша дене қиылыспайтын бөліктерге бөлінсе, оның көлемі бөліктер көлемдерінің қосындысына тең. Ортақ шекара көлемге қосымша үлес қоспайды.

Қолдану: V=12+18=30 см³. Екі бөлік бастапқы денені толық құрайтындықтан олардың көлемдері бір реттен қосылады. Бұл есепте өлшем бірліктері бірдей берілген. Ішкі бөліктер қиылыспайтындықтан ешбір көлем екі рет саналмайды. Бөліктердің ортақ шекарасы көлемдік қабат емес; бастапқы денені біріктіргенде 12 мен 18 см³ толық қосылады.

Қате нұсқаларды ажырату: A) 6 см³: 18−12=6 — бөліктер көлемдерінің айырмасы; бастапқы дене олардың қосындысы.

C) 36 см³: 36=2·18; екі бөлік те үлкен бөлікке тең деп қате алынған.

D) 216 см³: 12·18=216; көлемдерді көбейту см⁶ өлшемін береді, дене көлемі емес.

E) 15 см³: (12+18)÷2=15 — бөліктердің орташа көлемі, толық дене көлемі емес.

Қайта орындауға ишара: Бөлшектелген денені қайта біріктіргенде көлемдердің қосылатынын қолдан.

Ереже: Кез келген призманың көлемі табан ауданы мен оған перпендикуляр биіктіктің көбейтіндісіне тең: V=Sh. Бұл формула тік және көлбеу призмаларға да қолданылады.

Қолдану: Табан ауданы дайын берілген, сондықтан V=18·7=126 см³. Аудан бірлігі см² мен ұзындық бірлігі см көбейіп, көлем бірлігі см³ шығады. Призманы табанға параллель қималармен қарастырғанда әр қабаттың ауданы 18 см² болып сақталады. 7 см перпендикуляр биіктік осы қабаттарды көлемге жинайды; призманың қырлары туралы қосымша ақпарат қажет емес.

Қате нұсқаларды ажырату: A) 63 см³: 63 см³ дұрыс көлемнің жартысы; призмаға қосымша екіге бөлу қолданылмайды.

B) 42 см³: 42 см³=18·7÷3; пирамидадағы үштен бір коэффициенті призмаға қате қолданылған.

D) 25 см³: 18+7=25; аудан мен ұзындықты қосу көлем бермейді.

E) 252 см³: 252 см³ дұрыс көлем екі рет саналған; табан ауданы бір рет көбейтіледі.

Қайта орындауға ишара: Табан ауданы белгілі болса, оның қабырғаларын іздеудің қажеті жоқ.

Ереже: Тікбұрышты параллелепипед призма болғандықтан оның көлемі үш өзара перпендикуляр өлшемнің көбейтіндісіне тең. Алғашқы екі өлшем табан ауданын, үшіншісі биіктікті береді.

Қолдану: Табан ауданы 3·4=12 см². Көлем V=12·8=96 см³. Өлшемдердің қайсысын биіктік ретінде таңдасақ та көбейтінді өзгермейді. Блоктың бір қабатындағы 3×4 табан 12 см², ал осы қабаттар 8 см биіктік бойымен бірдей орналасады. Сондықтан үш өлшем көбейеді; бет ауданына тән жақтарды жұптап қосу бұл көлем есебіне керек емес.

Қате нұсқаларды ажырату: A) 15 см³: 3+4+8=15; үш ұзындықтың қосындысы көлем емес.

B) 48 см³: 48 см³ дұрыс көлемнің жартысы; тікбұрышты блокты есептеуде жарты коэффициенті жоқ.

C) 192 см³: 192 см³ дұрыс көлем екі рет саналған; екі табан болуы көлемді екі еселемейді.

E) 64 см³: 8²=64; бір өлшем квадратталып, 3 және 4 см өлшемдер ескерілмеген.

Қайта орындауға ишара: Үш өлшемнің барлығын бір реттен көбейт.

Ереже: Дұрыс төртбұрышты призманың табаны шаршы болады. Алдымен S=a² табан ауданы табылады, содан кейін V=Sh көлем формуласы қолданылады.

Қолдану: S=5²=25 см². Сондықтан V=25·6=150 см³. Табан қабырғасы мен дене биіктігі екі бөлек өлшем болғандықтан қабырғаны биіктікке бір рет көбейту жеткіліксіз. Шаршы табан екі тәуелсіз бағытта да 5 см созылады, сондықтан оның ауданы 25 см². Осы аудан 6 см биіктікке көбейеді; 5 см қабырғаны тек 6-ға көбейту бір бүйір тіктөртбұрышын ғана есептер еді.

Қате нұсқаларды ажырату: A) 120 см³: 4·5·6=120; табан периметрі аудан орнына қолданылған.

B) 50 см³: 50=2·25 — екі табанның ауданының коэффициенті; ол биіктікті ескермейтін көлем емес.

C) 30 см³: 5·6=30; табан қабырғасы квадратталмай, бір ғана бүйір жақ өлшемдері көбейтілген.

D) 300 см³: 300 см³ дұрыс көлем екіге көбейтілген; призмада бір табан ауданы мен биіктік жеткілікті.

Қайта орындауға ишара: Шаршының ауданын периметрінен ажырат.