Цилиндрдің көлемі

Ереже: Цилиндр көлемі табан дөңгелегінің ауданы мен биіктіктің көбейтіндісіне тең: V=πR²h. Радиус квадратталады, ал биіктік бірінші дәрежеде қалады.

Қолдану: Табан ауданы 9π см². V=9π·8=72π см³. Радиус пен биіктік бірдей сантиметр бірлігімен берілгендіктен көлем сантиметр кубымен алынады. Көлемді табуда 3 см радиус табанның екі бағытын анықтап, квадратталады. Осы дөңгелек аудан барлық 8 см биіктік бойымен бірдей болғандықтан аудан мен биіктікті көбейту цилиндрдің ішкі кеңістігін береді.

Қате нұсқаларды ажырату: A) 48π см³: 48π=2π·3·8 — бүйір бет ауданының коэффициенті; көлем үшін радиус квадратталуы керек.

B) 216π см³: 216π=π·3³·8; радиус артық үшінші дәрежеге көтерілген.

D) 144π см³: 144π дұрыс көлемнің екі есесі; екі табан болуы көлемді екі еселемейді.

E) 24π см³: 24π=π·3·8; радиус квадратталмаған.

Қайта орындауға ишара: Дөңгелек табан ауданын тауып, оны биіктікке көбейт.

Ереже: Цилиндр көлемінің формуласында радиус қолданылады. Диаметр берілсе, R=D/2 деп алу керек. Одан кейін ғана радиусты квадраттап, биіктікке көбейтеді.

Қолдану: R=10/2=5 см. V=π·5²·4=100π см³. Диаметрді пайдаланып тікелей есептегенде V=πD²h/4 дәл осы мәнді береді. 10 см диаметрден 5 см радиус алынады, сондықтан табан ауданы 25π см². Биіктік 4 см-ге көбейтілгенде 100π см³ көлем шығады; диаметрдің квадраты радиус квадратынан төрт есе үлкен екенін ескереміз.

Қате нұсқаларды ажырату: A) 25π см³: 25π — табан ауданының сан мәні; 4 см биіктік қолданылмаған.

B) 40π см³: 40π=π·10·4; диаметр радиус ретінде алынып, квадраттау да ұмытылған.

C) 400π см³: 400π=π·10²·4; диаметр радиус деп қолданылған.

E) 200π см³: 200π дұрыс көлемді екі еселейді; көлем формуласында қосымша екі көбейткіші жоқ.

Қайта орындауға ишара: Формуладағы R таңбасына 10 емес, оның жартысы қойылатынын тексер.

Ереже: V=πR²h формуласынан h=V/(πR²) шығады. Белгілі көлемді табан ауданына бөлгенде цилиндрдің биіктігі табылады, ал π көбейткіші қысқарады.

Қолдану: Табан ауданы 36π см². h=180π/(36π)=5 см. Кері тексеру π·36·5=180π см³ беріп, шартты растайды. Цилиндрдің бір сантиметр биіктігі 36π см³ көлем береді, сондықтан 180π үшін бес сантиметр керек. Биіктікті табу табан шеңберінің ұзындығына емес, дөңгелек ауданына бөлумен орындалады.

Қате нұсқаларды ажырату: A) 15 см: 15 см конус үшін h=3V÷S формуласын қолданғанда шығады; дене цилиндр.

B) 30 см: 180÷6=30; радиус квадратталмай бөлімге қойылған.

C) 2,5 см: 2,5 см дұрыс биіктіктің жартысы; табан ауданы артық екі еселенген.

D) 10 см: 10 см дұрыс биіктіктің екі есесі; көлем формуласында жарты коэффициенті жоқ.

Қайта орындауға ишара: 180 санын 6-ға емес, 6²-қа бөл.

Ереже: Радиусты табу үшін көлемді π мен биіктікке бөледі: R²=V/(πh). Бұл радиустың квадраты, сондықтан соңында оң квадрат түбір алынады.

Қолдану: R²=147π/(3π)=49. Радиус R=7 см. Тексеру: π·7²·3=147π см³. Геометриялық ұзындық ретінде теріс түбір қабылданбайды. Алдымен 147π көлемді 3 см биіктікке бөліп, табанның 49π см² ауданын аламыз. Одан π қысқарып R²=49 қалады; тек содан кейін оң квадрат түбір радиусты береді.

Қате нұсқаларды ажырату: B) 49 см: 49 — радиус квадраты; ұзындық алу үшін квадрат түбір керек.

C) 14 см: 14 см — табан диаметрі; сұралған радиус 7 см.

D) 21 см: 21 см дұрыс радиусқа биіктік 3 қайта көбейтілген; R² теңдігін шешкенде биіктік қолданылды.

E) √147 см: √147 көлем коэффициентінен тікелей түбір алады; алдымен 3 см биіктікке бөлу керек.

Қайта орындауға ишара: R² пен R шамаларын екі бөлек қадамда тап.

Ереже: Цилиндр көлемі радиустың квадратына және биіктікке тура пропорционал. Радиус пен биіктіктің өзгерістері бір формулаға бірге қойылып, бастапқы көлеммен салыстырылады.

Қолдану: V₂=π(2R)²(h/3)=(4/3)πR²h. Сондықтан V₂/V₁=4/3, яғни қатынас 4 : 3 болады. Жаңа табан ауданы радиус екі еселенгендіктен төрт еселенеді. Биіктік үш есе кемісе осы төрт коэффициенті үшке бөлінеді; денелер толық ұқсас емес, сондықтан бір жалпы кубтық коэффициент қолданылмайды.

Қате нұсқаларды ажырату: A) 3 : 4: 3:4 жаңа; бастапқы ретінің кері қатынасы.

C) 4 : 9: 4:9 биіктік коэффициентін де квадраттайды; биіктік бірінші дәрежеде қатысады.

D) 2 : 3: 2:3 радиусты квадраттамайды; табан ауданы төрт есе артады.

E) 8 : 3: 8:3 радиус коэффициентін кубтайды; биіктік бөлек өзгергендіктен R² ғана керек.

Қайта орындауға ишара: Радиусқа квадрат, биіктікке бірінші дәреже қолдан.