Гармоникалық тербелістердің теңдеулері мен графиктері

Ереже: Гармоникалық қозғалыста x=Acos(ωt+φ₀). Косинустың модулі бірден аспайды, сондықтан A — координатаның тепе-теңдікке қатысты ең үлкен модулі.

Қолдану: Берілген теңдеуді стандарт түрімен салыстырамыз: A=0,06 м, ω=5 рад/с, φ₀=π/3. Демек, координата −0,06 м мен +0,06 м аралығында өзгереді. Бастапқы фаза x(0) мәніне әсер етеді, бірақ амплитуданы өзгертпейді. Бір мезеттегі ауытқуды немесе толық екі жақты аралықты амплитудамен шатастырмау қажет.

Қате нұсқалар: A) 0,12 м — екі шеткі қалыптың арақашықтығы, яғни 2A. Амплитуда тепе-теңдік қалпынан бір шетке дейін өлшенеді.

B) Бұл амплитуданы негізсіз екіге бөлгенде шығады. Теңдеудегі 0,06 коэффициенті екі шет арасындағы қашықтық емес.

C) π/3 — бастапқы фазаның радианмен берілген мәні. Фаза тербелістің басталу күйін көрсетеді, ұзындықты өлшемейді.

D) 5 — уақыттың алдындағы циклдік жиілік коэффициенті. Оның бірлігі рад/с; оны координатаның ең үлкен мәні деп алуға болмайды. Ишара: Косинус алдындағы коэффициентті және координатаның өлшем бірлігін тап.

Ереже: Жиілік ν=N/t — уақыт бірлігіндегі толық тербелістер саны. Период T=t/N, ал ν=1/T; бір герц бір секундтағы бір тербелісті білдіреді.

Қолдану: N=20 және t=8 с мәндерін қоямыз: ν=20/8=2,5 Гц. Тексеру үшін T=8/20=0,4 с деп есептеп, 1/0,4=2,5 с⁻¹ аламыз. Екі тәсіл бір нәтижеге әкеледі. Мұнда 20 жарты тербеліс емес, толық тербеліс екені шартта нақты берілген, сондықтан қосымша екіге бөлу қажет емес.

Қате нұсқалар: A) 20 — бүкіл сегіз секундтағы тербеліс саны. Бір секундтағы санды алу үшін бақылау ұзақтығын ескеру қажет.

C) 8 — өлшеу уақытының секундпен берілген мәні. Уақыт пен жиілік өзара кері шамалар, олардың сандық мәндерін жай алмастырмайды.

D) 20·8 тербеліс санын уақытқа көбейтеді. Жиілік бір секундтағы сан болғандықтан, тербеліс санын уақытқа бөлу керек.

E) 8/20=0,4 — бір тербеліске кететін уақыт, яғни период. Бұл санның бірлігі секунд; оны герцпен жазу жиілікке айналдырмайды. Ишара: Бір секундтағы толық тербелістер санын есепте.

Ереже: Бір толық тербеліс кезінде фаза 2π радианға өседі. Сондықтан ωT=2π және T=2π/ω; циклдік жиіліктің бірлігі рад/с.

Қолдану: ω=4π рад/с болғанда T=2π/(4π)=1/2 с. Қосымша тексеру: ν=ω/(2π)=2 Гц, сондықтан T=1/2=0,5 с. ω мен ν бір шама емес: біріншісі фазаның өзгеру жылдамдығын, екіншісі толық цикл санын сипаттайды. π коэффициенттері қысқарғаннан кейін жауапта секунд қалады.

Қате нұсқалар: A) 4π — берілген циклдік жиіліктің сандық мәні. Период ω-ға тең емес, оған кері пропорционал.

B) 2π·ω көбейтіндісі периодты бермейді. Фазаның өзгерісін циклдік жиілікке бөлу арқылы уақыт табылады.

C) 4π-ді 2π-ге бөлсе, 2 Гц жиілік шығады. Сол санды период ретінде секундпен жазу кері байланысты елемейді.

E) Бұл толық айналымға π радиан ғана қажет деп есептеуге ұқсайды. Бір толық тербелісте фаза 2π-ге артады. Ишара: Толық циклге сәйкес 2π фазаны берілген ω-ға бөл.

Ереже: Координатаны табу үшін берілген уақытты гармоникалық қозғалыс теңдеуінің аргументіне қояды. Фаза радианмен есептеледі; cos(π/2)=0.

Қолдану: Фаза 2π·0,25=π/2. Сондықтан x=0,08cos(π/2)=0 м. Дене осы мезетте тепе-теңдік қалпынан өтеді; координатаның нөл болуы дененің тоқтағанын білдірмейді. Берілген қозғалыстың периоды бір секунд, ал 0,25 секунд оның ширегіне тең. Бұл тексеру бастапқы оң шеткі қалыптан қозғалған дененің тепе-теңдікке келуімен үйлеседі.

Қате нұсқалар: B) Амплитуданы жай екіге бөлу косинус мәнін есептемейді. π/2 бұрышында косинус 1/2 емес, нөлге тең.

C) 0,08·0,25 көбейтіндісі уақытты координата коэффициентіне тікелей көбейтеді. Теңдеу сызықтық емес, косинустық заңмен берілген.

D) Бұл амплитудаға тең шеткі координата. Ол cos(2πt)=1 болғанда алынады; берілген мезетте косинус аргументі π/2 болады.

E) Теріс шеткі координата cos(π)=−1 жағдайына сәйкес. Берілген уақыт жарты период емес, ширек период. Ишара: Алдымен косинустың аргументін есепте, содан кейін функция мәнін тап.

Ереже: Жылдамдық проекциясы координатаның уақыт бойынша бірінші туындысы: vₓ=dx/dt. d[cos(ωt)]/dt=−ωsin(ωt), сондықтан vₓ=−Aωsin(ωt).

Қолдану: A=0,04 м, ω=10 рад/с; Aω=0,4 м/с. Осыдан vₓ=−0,4sin(10t). t=0 кезінде sin0=0 болғандықтан жылдамдық нөлге тең, бұл шеткі қалыпқа сәйкес келеді. Аз оң уақыт өткенде синус оң, ал жылдамдық теріс: дене тепе-теңдікке қарай қозғалады. Координата таңбасын жылдамдық бағытымен автоматты теңестіруге болмайды.

Қате нұсқалар: A) Функцияның түрі өзгертілмеген. Бұл t=0 мезетінде максимал жылдамдық береді, ал дене бастапқы шеткі қалыпта тұр.

B) Косинустың туындысындағы минус таңбасы жоғалған. Бастапқы оң шеткі қалыптан дене теріс бағытқа қозғалады.

C) Ішкі функция 10t бойынша тізбекті туындының 10 көбейткіші ескерілмеген. Жылдамдық амплитудасы Aω болады.

E) Бұл координатаның екінші туындысының өрнегіне ұқсайды. −4cos(10t) үдеуді сипаттайды, оның бірлігі м/с² болуы керек. Ишара: Косинустың туындысындағы минус пен ішкі аргументтің 10 көбейткішін сақта.