НОД и НОК онлайн с решением: простые множители, признаки делимости, простые числа и тренажёр

НОД и НОК онлайн с решением: введите два или несколько чисел и получите наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное двумя способами — через разложение на простые множители и алгоритмом Евклида. Здесь же можно разложить число на простые множители онлайн, проверить признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11 и 12, пройти решето Эратосфена по шагам («простые числа до 100»), узнать, простое ли число, потренироваться и распечатать лист с ключом. Без регистрации, всё считается в вашем браузере.

Как пользоваться

— «НОД и НОК»: введите от двух до шести натуральных чисел (до 15 цифр). Появятся НОД и НОК, пометка «взаимно простые» или нет и два разбора. Первый — через простые множители: общие множители подчёркнуты, для НОД берём их в наименьшей степени, для НОК все множители в наибольшей. Второй — алгоритм Евклида: деление с остатком по шагам, например 360 = 84 · 4 + 24. Для трёх и более чисел НОД ищется последовательно: НОД(НОД(a, b), c). Кнопка «Сократить дробь» сокращает дробь из первых двух чисел на их НОД, а «Копировать решение» кладёт весь разбор в буфер. — «Простые множители»: введите число до 15 цифр и получите запись вида 360 = 2³ · 3² · 5, разложение «в столбик», все делители числа и их количество. Для очень больших чисел страница честно скажет, что разложение слишком долгое, и не зависнет. — «Признаки делимости»: введите число (до 30 цифр) и увидите таблицу: на какие из чисел 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 12 оно делится. Каждый вердикт объяснён на ваших цифрах: например, «сумма цифр 2 + 4 + 3 = 9 делится на 3 — значит, число делится на 3». — «Простые числа»: решето Эратосфена на сетке 1–100, 1–200 или 1–500. Кнопка «Следующий шаг» берёт очередное простое число и вычёркивает его кратные, «Автопоказ» делает это сам, «Показать сразу» открывает итог со списком всех простых. Ниже можно проверить любое число до 15 цифр: простое оно или составное, почему, и какие простые числа стоят рядом. — «Тренажёр»: раунд из 10 заданий (НОД, НОК, разложение, «делится ли на …», «простое или составное»), три уровня сложности. После каждого ответа виден разбор, в конце — ошибки с решением, серия верных ответов и рекорд. — «Лист для печати»: 20, 24 или 30 заданий и ключ ответов на втором листе.

Последний ввод, уровень и рекорды хранятся только в вашем браузере, кнопка «Очистить данные» стирает их.

Идеи для урока и для дома

— Два способа рядом. Дайте классу пару чисел, например 360 и 84. Половина находит НОД через простые множители, половина по Евклиду, потом сверяют ответы с инструментом и обсуждают, какой способ удобнее для маленьких чисел, а какой для больших. — Сложение дробей. Перед примером 1/6 + 1/10 найдите НОК знаменателей: это общий знаменатель. А НОД числителя и знаменателя помогает сократить результат: для этого есть кнопка «Сократить дробь». — Задачи на движение по кругу и расписания. Два автобуса выходят одновременно с интервалом 15 и 20 минут: когда они снова встретятся? Это НОК(15, 20). Ученики составляют свои задачи и проверяют ответ. — Поровну в наборы. «Есть 36 тетрадей и 48 ручек: на какое наибольшее число одинаковых наборов их можно разложить?» Это НОД(36, 48). Хорошая задача на смысл НОД, а не только на вычисление. — Охота за признаками. Задайте число и попросите подобрать последнюю цифру так, чтобы оно делилось на 3, на 4 или на 11, а потом проверьте во вкладке «Признаки делимости». — Решето на уроке. Выведите сетку на экран и вычёркивайте числа всем классом: кто назовёт следующее простое? Потом сравните свой результат с «Показать сразу». — Работа в парах. Один ученик загадывает число, второй называет признаки, по которым определяет делители, первый проверяет в инструменте. — Контрольная и домашнее задание. Распечатайте лист с нужной сложностью и ключом, для другой группы нажмите «Другой набор». Дома хорошо работает привычка «один раунд в день».

Вопросы и ответы

— Как найти НОД двух чисел? Разложите оба числа на простые множители, возьмите общие множители в наименьшей степени и перемножьте. Или используйте алгоритм Евклида: делите большее число на меньшее с остатком, потом делитель на остаток, пока остаток не станет нулём. Последний делитель и будет НОД. — Чем НОК отличается от НОД? НОД — самое большое число, на которое делятся все заданные числа, он не больше самих чисел. НОК — самое маленькое число, которое делится на каждое из заданных, оно не меньше самых больших из них. Для двух чисел НОД · НОК = a · b. — Простое число — это какое? Простое число имеет ровно два делителя: 1 и само себя, например 2, 3, 5, 7, 11. Число 1 не простое и не составное, а все остальные числа, у которых делителей больше двух, называются составными. — Почему в решете Эратосфена можно остановиться на корне из границы? Любое составное число до 100 имеет простой делитель не больше 10, поэтому достаточно вычеркнуть кратные 2, 3, 5 и 7. Остальные числа уже простые. — Откуда берётся признак делимости на 11? Он основан на том, что 10 при делении на 11 даёт остаток −1, поэтому цифры на нечётных и чётных местах входят в сумму с разными знаками. Если разность их сумм делится на 11 (включая 0), то и число делится на 11.

Что ещё пригодится

— Дроби с рисунками и тренажёром: Дроби наглядно: тренажёр онлайн. — Подборка материалов и инструментов для урока математики: Учителю математики. — Быстрый счёт каждый день: Устный счёт: тренажёр онлайн. — Все инструменты и материалы раздела: Полезное.